• 一分钟数学??sinx的泰勒展开
  • 发布时间:2017-01-08 13:17 | 作者:sdsfs | 来源:未知 | 浏览:
  •   文/无忧公主(责编:许兴华)

      【起源】公众号:无忧公主的数学时间

      大家可能对直角坐标系的接触比较少,三角函数也可能不能纯熟运用,更没有仔细 “ 研究 ” 其中的神秘吧。今天给大家讲的 sin x 的泰勒展开,可能会给大家带来对三角函数不同的印象吧。sin x 的泰勒展开也需要大家对 “ 无穷 ” 有一定的懂得,会用到以前没有讲过的 “ 微分 ”,所以大家不要畏惧 “ 复杂 ” 的符号哦。下面是一些相关的链接,提议先阅读一下:

      一分钟数学——婆罗摩笈多定理的第一部分(三角函数的简单定义)

      一分钟数学——等比数列求和(关于无穷)

      感到泰勒展开很有意思的

      ——无忧公主

      什么是微分

      简略的介绍

      在所有之前,我们来讲一个名叫 “ 微分 ”的东西(固然这样称谓 “ 微分 ” 可能会活力的),学过的同窗也最好温习一下。在泰勒展开中,由于只有 x,微分也能够看做是求导数(y 跑过来之后,就要把导数踢走了哦)。言归正传,一般常数的微分等于 0:(a)'=0,大家顺便看一下微分的表现办法,实在和导数没什么差别。

      x ^ n 的微分等于 n ( x ^ (n-1) ),我认为挺好记的,就是把指数拽到系数那里去,然后指数确定要减 1(都被拽走了嘛)。接下来的两条微分的性质(“ 规矩 ”)可能并不是所有人都知道。① ( sin x )' = cos x;② ( cos x )' = - sin x。是不是挺神奇的?记得好好利用,泰勒展开中要用哦。

      什么是泰勒展开

      这才是重点

      你有没有想过,sin x 可以如何 “ 展开 ”?写成式子就是:

      最后以省略号停止,代表 “ 无穷 ”,需要求的就是 a0,a1,a2,…… 的值,准确地说就是通项公式。然后,我们就可以开端 “ 微分 ” 了,就是等式两边同时、不停地微分下去。左边的三角函数的微分,其实是四个一循环的:sin x ? cos x ? - sin x ? - cos x,再回到 sin x……我们也会注意到,但凡把右边微分后,第一项(常数)就为 0 了,也就是可以直接疏忽。

      

      真是一件令人愉快的事吧,因为这样一来,等式左边在有规律地循环着,等式右边每次都减少一项。当然,x = 0 时等式也会成立,那将 x = 0 带入,将消去所有 x 指数大于 0 的项(都是 0 啊)。这样一来,就可以顺利求出 a0,a1,a2,……啦,sin 0、cos 0、- sin 0 和 - cos x 分离是 0、+1 、0、-1(显然的规律)。上面是微分的过程,下面是对于所有系数得到的等式。

      演绎和总结

      最后的结果

      说了这么多,大家都已经可以顺利求出所有的系数了(数列 a 咯),现在来总结一下我们的成果(不能那么轻率地就做完了啊,这个答案显然不令人满足,需要有正规的通项公式)。首先,等式左边是四个一循环,可以从除以 4 的余数来斟酌(分类);然后,等是右边可以用字母来取代,就是 k! × ak,这里 k! 代表阶乘。所以说,我们可以得到一个看上去美丽的结果:

      假如将系数数列 a 代入,那么偶数项都会消掉(系数为 0),只剩下一加一减的奇数项了。这就是 泰勒展开(其实泰勒展开有好几个,这里只是 sin x 的泰勒展开):

      好啦,sin x 的泰勒展开就讲到这里,不外实际上还能延伸出一些其余问题,就不多介绍了。你有没有想过三角函数有这么神奇呢?仍是微分的功劳吧(虽然你可能还不是特殊懂得微分,但这并不妨碍我们解决泰勒展开哦)……

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